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The quantum Vlasov equation

De Norbert Mauser

Apparaît également dans la collection : Collisionless Boltzmann (Vlasov) equation and modeling of self-gravitating systems and plasmas / Boltzmann sans collisions, Vlasov et modélisation des systèmes auto-gravitants et des plasmas

We present the Quantum Vlasov or Wigner equation as a "phase space" presentation of quantum mechanics that is close to the classical Vlasov equation, but where the "distribution function" $w(x,v,t)$ will in general have also negative values. We discuss the relation to the classical Vlasov equation in the semi-classical asymptotics of small Planck's constant, for the linear case [2] and for the nonlinear case where we couple the quantum Vlasov equation to the Poisson equation [4, 3, 5] and [1]. Recently, in some sort of "inverse semiclassical limit" the numerical concept of solving Schrödinger-Poisson as an approximation of Vlasov-Poisson attracted attention in cosmology, which opens a link to the "smoothed Schrödinger/Wigner numerics" of Athanassoulis et al. (e.g. [6]).

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Bibliographie

  • [1] Bardos, C., & Mauser, N.J. (2017). Équations cinétiques : une histoire française. Gazette des Mathématiciens, to appear
  • [2] Gérard, P., Markowich, P., Mauser, N.J., & Poupaud, F. (1997). Homogenization limits and Wigner transforms. Communications on Pure and Applied Mathematics, 50(4), 323-379 - http://dx.doi.org/10.1002/(SICI)1097-0312(199704)50:4%3C323::AID-CPA4%3E3.0.CO;2-C
  • [3] Lions, P.-L., & Paul, T. (1993). Sur les mesures de Wigner. Revista Matemática Iberoamericana, 9(3), 553-618 - http://dx.doi.org/10.4171/RMI/143
  • [4] Markowich, P.A., & Mauser, N.J. (1993). The classical limit of a self-consistent quantum Vlasov equation in 3D. Mathematical Models & Methods in Applied Sciences, 3(1), 109-124 - http://dx.doi.org/10.1142/S0218202593000072
  • [5] Zhang, P., Zheng, Y., & Mauser, N.J. (2002). The limit from the Schrödinger-Poisson to the Vlasov-Poisson equations with general data in one dimension. Communications on Pure and Applied Mathematics, 55(5), 582-632 - http://dx.doi.org/10.1002/cpa.3017
  • [6] Athanassoulis, A.G., Mauser, N.J., & Paul, T. (2009). Coarse-scale representations and smoothed Wigner transforms. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Neuvième Série, 91(3), 296-338 - http://dx.doi.org/10.1016/j.matpur.2009.01.001

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