David Hilbert et son 17ème problème : la tête aux carrés
En août 1900 a lieu à Paris le deuxième congrès international des mathématiciens. À cette occasion, le célèbre mathématicien allemand David Hilbert s'adresse à ses collègues. Il leur présente
« quelques problèmes déterminés pris dans diverses branches des mathématiques et dont l'étude pourrait concourir à l'avancement de la Science .»
Il s'agit d'une liste de vingt-trois problèmes mathématiques variés, que Hilbert jugeait de grande importance, et qui ont eu une influence considérable sur les mathématiques du XXe siècle. Aujourd'hui, certains ont été résolus, d'autres sont encore ouverts, et quelques-uns... n'ont pas été formulés assez précisément par Hilbert pour qu'on puisse le décider !
Le 17e problème de Hilbert fait partie de ceux qui ont été résolus incontestablement, et rapidement : une solution a été trouvée par Emil Artin en 1927. Son thème est la positivité des fonctions : comment reconnaître qu'une fonction est positive ? Par exemple, est-elle nécessairement une somme de carrés de fonctions, et pour quels types de fonctions ? Peut-on expliquer ainsi toutes les inégalités ? Hilbert lui-même avait consacré deux travaux très originaux à ce sujet, l'un en 1888 et le suivant en 1893, sans réussir cependant à résoudre la question qui allait devenir son 17e problème. Il aura fallu pour cela toute l'ingéniosité d'Emil Artin.
