D’Alembert : les Lumières et les ondes
D'Alembert est l'auteur de contributions scientifiques étonnantes par leur variété et leur profondeur ; en mathématiques, on lui doit notamment l'énoncé selon lequel tout polynôme à coefficients complexes possède parmi les nombres complexes un nombre de racines - comptées avec leur multiplicité - exactement égal à son degré, énoncé dont la démonstration complète sera donnée plus tard par Gauss. En mécanique, le principe de conservation de la quantité de mouvement porte son nom, ainsi qu'un célèbre paradoxe en hydrodynamique. En astronomie, il est l'auteur d'un mémoire sur la précession des équinoxes. Il fut également philosophe et théoricien de la musique.
C'est justement la musique qui est à l'origine du texte qui fait l'objet de cet exposé. En 1747, D'Alembert présente un mémoire à l'Académie de Berlin consacré à l'étude des petites vibrations d'une corde tendue à ses deux extrémités, comme une corde de guitare. Il y traduit ce problème en une équation mathématique d'un nouveau type, où l'inconnue n'est plus ni un nombre, ni une fonction d'une variable, comme dans les équations différentielles étudiées par Newton quelques dizaines d'années plus tôt, mais une fonction de plusieurs variables. C'est l'une des toutes premières équations aux dérivées partielles. De telles équations allaient ensuite se révéler omniprésentes dans la modélisation mathématique des phénomènes physiques, et dans de nombreuses questions de géométrie.
Nous nous efforcerons de suivre les arguments de D'Alembert établissant et résolvant sa fameuse équation, puis nous essaierons de donner une idée de l'extraordinaire fécondité mathématique de l'équation de D'Alembert, de la propagation des ondes jusqu'aux équations d'Einstein en relativité générale.
