C.-F. Gauss et les débuts de la théorie des nombres moderne
Repéré par son instituteur dès l'âge de sept ans pour ses capacités exceptionnelles, le jeune Gauss fait ses premières découvertes mathématiques alors qu'il n'a pas dix-huit ans. En 1801, Gauss n'a que vingt-quatre ans ; il publie ses recherches sur «l’arithmétique supérieure» dans son livre Disquisitiones Arithmeticae. Cet ouvrage marque la naissance de la théorie des nombres moderne, notamment par la démonstration de la loi de réciprocité quadratique. Il introduit aussi dans les sciences mathématiques un niveau de rigueur et d’abstraction caractéristique des mathématiques pures au sens où nous l’entendons aujourd’hui.
Les expressions «arithmétique» et «théorie des nombres» désignent la branche des mathématiques qui traite des nombres entiers, de leurs propriétés de divisibilité, et en particulier des nombres premiers, les nombres entiers positifs qui ne peuvent pas se décomposer comme produit de deux nombres entiers positifs plus petits. C'est, avec la géométrie plane, une des plus anciennes discipline des mathématiques, déjà fort étudiée dans l'Antiquité, notamment par les Grecs Euclide et Diophante.
Soit p un nombre premier ; on dit qu’un entier a est un résidu quadratique modulo p s'il existe un nombre entier x tel que x2 - a soit un multiple de p. Donnons-nous maintenant deux nombres premiers impairs p et q. La loi de réciprocité quadratique répond par l’affirmative à la question suivante : y a-t-il un lien entre les deux assertions «p est un résidu quadratique modulo q» et «q est un résidu quadratique modulo p» ? Son énoncé, conjecturé par Legendre et établi rigoureusement par Gauss, est le suivant : si le reste de la division de p par 4 ou le reste de la division de q par 4 vaut 1, alors les deux assertions sont équivalentes ; si ces deux restes valent 3, alors chacune des assertions est équivalente à la négation de l’autre.
Pendant la conférence, on s’efforcera d’expliquer la signification de la loi de réciprocité quadratique - un énoncé dont le caractère élémentaire dissimule l’importance et la difficulté - et d’évoquer ses développements modernes. On discutera notamment divers problèmes non résolus qui sont les modernes «descendants» des travaux de Gauss sur l’arithmétique (conjectures de Langlands, détermination de la complexité algorithmique de problèmes arithmétiques élémentaires) et leurs liens avec divers aspects de la personnalité scientifique de Gauss, notamment avec les travaux de Gauss «calculateur» et astronome.
