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Von Neumann, moyennes et démesure

De Damien Gaboriau

Les extra-terrestres font-ils des mathématiques ? On prétend qu'Albert Einstein, qui était son collègue à Princeton, considérait John von Neumann comme un extra-terrestre et nous verrons qu'il n'avait pas tort. Pourtant, John von Neumann est un homme et une figure emblématique du XXème siècle. Né à Budapest sous le nom de Neumann János Lajos, il parcourra l'Europe avant de partir pour les USA où il participera au projet Manhattan, et il parcourra les sciences, de la chimie à l'économie et la théorie des jeux, en passant par les mathématiques et la physique. Cet incroyable génie a apporté des contributions fondamentales en mécanique quantique. Il est, avec Alan Turing, le père des ordinateurs modernes. Il s'est attaqué à de nombreux problèmes concrets, en combinant une approche pragmatique et profondément rigoureusement théorique. Ses découvertes mathématiques sont multiples et exceptionnelles. Les domaines des mathématiques où il a excellé sont innombrables. Le texte que nous allons évoquer date de 1929 (il a alors 26 ans) et s'intéresse au problème de la mesure. Que peut-on mesurer ? Le paradoxe de Banach-Tarski (1924), qui repose sur des idées de Hausdorff (1914), prétend qu'il est théoriquement possible de décomposer une orange en un certain nombre de morceaux qu'on pourra recombiner pour former deux oranges de même taille (et même poids !) que celle de départ. On sait que la construction analogue n'est pas possible en dimension 2. J. von Neumann va expliquer que la raison profonde se dissimule dans le groupe des déplacements autorisés pour la recombinaison et son caractère "moyennable'' ou non. La notion qu'il a dégagée va se répandre dans divers domaines des mathématiques et continue à être très étudiée de nos jours. Cette conférence sera l'occasion de rencontrer des situations paradoxales, des groupes libres, des arbres, quelques pommes de terre et même une table de ping-pong.

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