Compter les excursions sur un échiquier
By Alin Bostan
Imaginons un échiquier s'étendant à l'infini dans les directions Est et Nord, et supposons qu'un « roi biaisé » puisse se déplacer d'une case vers l'Est, l'Ouest, le Sud-Ouest ou le Nord-Est. Si ce roi part du coin inférieur gauche de l'échiquier, combien existe-t-il d'excursions, c'est-à-dire de chemins possibles qui le font revenir à son point de départ en un nombre fixé de pas ? En 2001, Ira Gessel, mathématicien de l'Université Brandeis aux États-Unis, conjectura une belle formule pour ce nombre de possibilités. Depuis l'énoncé de cette conjecture jusqu'à sa première preuve en 2008, qui utilisait de façon cruciale la puissance des ordinateurs, puis sa première démonstration purement humaine en 2013, beaucoup de mathématiciens se sont confrontés à ce problème par des approches très différentes. Dans cet exposé nous allons placer le problème dans un contexte plus large — le dénombrement de chemins confinés dans un cône —, le motiverons, et survolerons quelques résultats récents. En particulier, nous nous concentrerons sur la classification des marches à petits pas dans le quart de plan. Dans ce cadre, nous verrons que la suite des nombres des excursions vérifie une récurrence linéaire si et seulement si un certain groupe, associé à l'ensemble de pas autorisés, est fini.
