Appears in collection : Bourbaki - Novembre 2025

Soient $X$ une variété projective irréductible et $f\colon X \to X$ une transformation rationnelle de $X$. Nous disposons alors d’un système dynamique algébrique. L’espace des phases est $X$ et l’évolution d’un point $x$ de $X$ est régie par $f$ : la trajectoire décrite par $x$ au cours du temps est la suite $x$, $f(x)$, $f(f(x))$, ..., $f^n(x)$, ..., où $f^n$ désigne la $n$-ème itération de $f$. Les degrés dynamiques de $f$ sont une collection finie de nombres réels positifs $\lambda_k(f)$, un pour chaque codimension $k$ comprise entre $0$ et la dimension de $X$. Par exemple, lorsque $X$ est l’espace projectif et $H_k$ est un sous-espace projectif de codimension $k$, $\lambda_k(f)$ mesure le taux de croissance exponentiel du degré de $(f^n)^*H_k$, quand $n$ tend vers $+\infty$. Les degrés dynamiques permettent donc d’appréhender la complexité d’un tel système dynamique. Cet exposé présentera les principales propriétés des degrés dynamiques, notamment leur construction, leur invariance par conjugaison, leur semi-continuité et leur lien avec des notions plus classiques en systèmes dynamiques.