Quelques paradigmes mathématiques (...)
Les données arrivent maintenant, on le sait, de façon massive. C'est le phénomène du Big Data qui pose des défis de tous ordres au monde moderne, au point que certains tenants de la « rationalité post-moderne » prétendent remplacer la logique humaine par une logique « statistique ». Les mathématiciens ont à l'évidence une carte importante à jouer pour comprendre, analyser et éventuellement résoudre ces nouveaux défis. Les informaticiens et les statisticiens sont pour l'instant à l'avant-point de ces problèmes, du à leur expérience en la matière de traitement des données, mais bien des questions dans ce domaine requièrent les compétences approfondies de diverses parties des mathématiques. Nous décrirons, dans cet exposé, plusieurs aspects du traitement des données en grande dimension en nous attachant à indiquer ou décrire des liaisons possibles ou établies avec d'autres domaines des mathématiques. Nous parlerons en particulier du « Compressed sensing » ou comment reconstituer un signal à partir de seulement quelques projections linéaires. Nous introduirons les concepts de décodeur l1 et de conditions d'isométrie restreinte. Cela nous amènera vers la notion de concentration en probabilité et, en particulier, celle des grandes matrices aléatoires. Nous parlerons ensuite de « sparsité », mot franglais dont l'acceptation française la plus proche est sans doute parcimonie. Nous relierons cette notion à la notion de régularité des fonctions (fonctions lipschitziennes par exemple) et de leur représentation dans diverses bases&nsbp;: base trigonométrique, base de Haar, base d'ondelettes et, plus généralement, base localisées associées à la diagonalisation d'un opérateur décrivant une géométrie. Nous étendrons ces concepts au problème fondamental de la représentation des données, c'est-à-dire de leur transformation en un nombre (idéalement petit) de fonctions qui permettent d'en faire ressortir au mieux les phénomènes saillants. Cette partie nous permettra en particulier d'abord l'utilisation des Laplaciens de graphes.
