Analyse de Fourier et empilement de sphères
By Ayman Moussa
L'objectif de cet exposé est de présenter les principes fondateurs de l'analyse de Fourier en illustrant sa puissance par des applications en apparence très éloignées. La première partie de l'exposé abordera la théorie des séries de Fourier : toute fonction périodique se décompose en une somme infinie de fonctions périodiques deux à deux orthogonales -- on ne manquera pas de préciser la signification de ce terme. Sans l'hypothèse de périodicité, une décomposition existe toujours, reposant sur un autre outil : la transformée de Fourier. Le lien entre ces deux décompositions s'opère à travers la formule de Poisson qui concluera la section " théorique " de l'exposé. Les applications de l'analyse de Fourier sont innombrables et très variées. Comme il n'est pas vraiment possible de toutes les aborder, nous nous contenterons en seconde partie d'en fournir deux exemples bien distincts, particulièrement frappants et ... distants de 200 ans. Le premier exemple est historique : il concerne la résolution de l'équation de la chaleur par Fourier lui-même (1822). Le second exemple est plus contemporain : il s'agit d'une borne obtenue par Cohn et Elkies en 2003, au cœur de la résolution par Vyazovska du problème de l'empilement des sphères en dimension 8 et 24, travaux qui lui ont valu la médaille fields en 2022 (= 1822 + 200, cqfd).
