Un petit aperçu des matrices de Wigner
Les matrices de Wigner sont des matrices hermitiennes (ou symétriques réelles) dont les coefficients sont aléatoires. Ce modèle a été introduit par le physicien Wigner, dans le but de comprendre le comportement de grands systèmes d'atomes. Étudiant en premier lieu le cas où les coefficients suivent une loi gaussienne, Wigner conjecture que les propriétés spectrales sont asymptotiquement universelles : quand la taille de la matrice tend vers l'infini, les valeurs propres se comportent essentiellement de la même manière quelle que soit la loi des coefficients.
Dans cet exposé, on commencera par définir les variables aléatoires à densité, en particulier les lois gaussiennes. On essaiera ensuite de donner un aperçu des propriétés de ces matrices de Wigner. Dans le cas où les coefficients sont gaussiens, on regardera plus précisément la convergence de la mesure spectrale empirique : il s'agit de la mesure uniforme sur les valeurs propres. On verra qu'elle converge vers une loi connue, appelée loi du demi-cercle, dont les moments sont les nombres de Catalan.
