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Classer les formes avec Henri Poincaré

By Nicolas Bergeron

En 1752, le mathématicien suisse Leonhard Euler énonce une formule reliant les nombres de sommets (S), d’arêtes (A) et de faces (F) d'un polyèdre : S - A + F = 2. Il vérifie que cette formule est satisfaite pour de nombreux polyèdres mais ne parvient pas à démontrer sa validité en général. Par la suite plusieurs mathématiciens s'y intéressent et la question devient rapidement : «A quels types de polyèdres la formule d'Euler s'applique-t-elle ?» La réponse viendra d'une science nouvelle dégagée par le mathématicien Henri Poincaré, l'Analysis Situs, maintenant appelée topologie algébrique. Celle-ci s'occupe de « compter les formes » et réalise ainsi un vieux rêve du philosophe et mathématicien allemand Gottfried Wilhelm Leibniz. Dans une des premières notes qu'il consacre à l'Analysis Situs, en 1893, Poincaré revient sur la formule d'Euler. C'est sur ce texte très court que s'appuie la conférence aidée de nombreux films en trois dimensions réalisés par Jos Leys.

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