Soit $d_n$ la densité maximale d’un empilement de sphères dont les centres forment un réseau de l’espace euclidien à $n$ dimensions. On expliquera comment Bo’az Klartag a démontré l’inégalité $d_n \geq c n^2 2^{-n}$ où $c>0$ est une constante universelle. En très grande dimension, même pour des empilements de sphères non nécessairement liés à un réseau, cette nouvelle borne inférieure est un progrès substantiel.
La preuve de Klartag repose sur la méthode probabiliste en combinant deux utilisations du hasard. La première, très classique, consiste à étudier les propriétés statistiques d’un réseau choisi uniformément au hasard. La seconde, novatrice, considère le processus d’évolution stochastique d’un ellipsoïde contraint à ne contenir, en dehors de l’origine, aucun point du réseau dans son intérieur.
[D'après B. Klartag]
By Guillaume Aubrun
By Bram Petri
By Karl-Theodeor Sturm
![[1953] Empilements de sphères en très grande dimension](/media/cache/video_light/uploads/video/SeminaireBourbaki.png)
