Introduites par Shimura en théorie des nombres dans les années 50, les paires de Hecke sont des inclusions de sous-groupes qui sont presque normales : leurs conjugués sont tous commensurables. À une paire de Hecke est associée un groupe localement compact totalement discontinu : sa complétion de Schlichting. Dans cet exposé, nous relions l’existence de sous-groupes presque normaux à la géométrie à grande échelle des complétions de Schlichting. Cela permet de prouver divers résultats de stabilité pour les conjectures de Baum-Connes et de Novikov, et de les valider sur de nouveaux exemples. Si le temps le permet, nous présenterons un travail en cours sur l’application de ces techniques au calcul de K-théorie de C*-algèbres de Hecke.
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