ALEA Days / Journées ALEA

Collection ALEA Days / Journées ALEA

Organizer(s) Elvey Price, Andrew ; Lecouvey, Cédric ; Mailler, Cécile ; Raschel, Kilian
Date(s) 13/03/2023 - 15/03/2023
linked URL https://conferences.cirm-math.fr/2887.html
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Dans les années 1970, William Tutte développa une approche algébrique, basée sur des «invariants», pour résoudre une équation fonctionnelle qui apparait dans le dénombrement de triangulations colorées. La transformée de Laplace de la distribution stationnaire du mouvement brownien réfléchi dans des cônes satisfait une équation similaire. Pour être applicable, cette méthode requiert l’existence de deux fonctions appelées respectivement invariant et fonction de découplage. Tous les modèles ont des invariants mais on démontre que l’existence de fonctions de découplage équivaut à une condition géométrique simple sur les angles de réflexion. Pour les modèles qui ont une fonction de découplage, on obtient une expression explicite sans intégrale de la transformée de Laplace en fonction des invariants. En particulier, on obtient à nouveau une formule pour la transformée de Laplace de plusieurs cas bien connus, comme la skew symétrie, les réflexions orthogonales ou le résultat de Dieker et Moriarty qui caractérise les densités stationnaires qui s’écrivent sous la forme d’une somme d’exponentielles. Cette méthode permet de plus de caractériser la nature algébrique de la transformée de Laplace en fonction des modèles. Cet exposé est issu d’un travail en collaboration avec M. Bousquet-Mélou, A. Elvey Price, C. Hardouin et K. Raschel.

Information about the video

Citation data

  • DOI 10.24350/CIRM.V.19508103
  • Cite this video Franceschi, Sandro (21/03/2019). Méthode des invariants de Tutte et mouvement brownien réfléchi dans des cônes. CIRM. Audiovisual resource. DOI: 10.24350/CIRM.V.19508103
  • URL https://dx.doi.org/10.24350/CIRM.V.19508103

Bibliography

  • Bousquet-Melou, M., Elvey Price, A., Hardouin, C., & Raschel, K. (2019). Algebraic nature of the SRBM Laplace - https://sandrofranceschi.files.wordpress.com/2019/03/article11.pdf
  • Dieker, A. B., & Moriarty, J. (2009). Reflected Brownian motion in a wedge: sum-of-exponential stationary densities. Electronic Communications in Probability, 14, 1-16 - https://doi.org/10.1214/ECP.v14-1437
  • Fayolle, G., Iasnogorodski, R., & Malyshev, V. (2017). Random walks in the quarter-plane. Algebraic methods, boundary value problems, applications to queueing systems and analytic combinatorics. 2nd edition. Cham: Springer - https://doi.org/10.1007/978-3-319-50930-3
  • Franceschi, S., & Raschel, K. (2018). Explicit expression for the stationary distribution of reflected brownian motion in a wedge. <arXiv:1703.09433> - https://arxiv.org/abs/1703.09433
  • Franceschi, S., & Raschel, K. (2017). Tutte’s invariant approach for Brownian motion reflected in the quadrant. ESAIM: Probability and Statistics, 21, 220-234 - https://doi.org/10.1051/ps/2017006
  • Tutte, W.T. (1995). Chromatic sums revisited. Aequationes Mathematicae, 50(1-2), 95-134 - https://doi.org/10.1007/BF01831115
  • Williams, R.J. (1995). Semimartingale reflecting Brownian motions in the orthant. In F.P. Kelly, & R.J. Williams (Eds.), Stochastic networks. Proceedings of a workshop of the 1993-94 IMA program on emerging applications of probability (pp. 125-137). New York, NY: Springer-Verlag - https://www.springer.com/la/book/9781475724202

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