Où sont les zéros des polynômes ?
De Xavier Buff
Le théorème de d'Alembert affirme que tout polynôme à coefficients complexes de degré supérieur ou égal à 1 possède au moins un zéro complexe. Localiser les zéros d'un polynôme donné n'est pas toujours facile. Mais que peut-on dire si on se donne une famille de polynômes ? Par exemple, considérons la famille des polynômes dont les coefficients sont égaux soit à 1 soit à -1. Que peut-on dire de l'ensemble des zéros de tous ces polynômes ? Si l'on trace cet ensemble, on voit apparaître une structure fractale. Le but de l'exposé est de comprendre pourquoi est d'expliquer quelques résultats récents dans ce domaine. Que se passe-t-il si l'ensemble des coefficients peut prendre trois valeurs ? Y a-t-il d'autres moyens de générer des familles de polynômes pour lesquels l'ensemble des zéros fait apparaître une structure fractale ?
