Appears in collection : Reductive groups and automorphic forms. Dedicated to the French school of automorphic forms and in memory of Roger Godement.

Les conjectures globales de Gan, Gross et Prasad relient la non -annulation de certaines fonctions L de Rankin-Selberg en leur centre de symétrie à celle de périodes automorphes (intégrales de formes automorphes le long d'un sous-groupe). Ces conjectures ont été raffinées par Ichino-Ikeda et N.Harris en des formules exactes reliant ces deux invariants. En se basant sur une comparaison de formules des traces simples relatives proposée par Jacquet et Rallis, Wei Zhang a démontré la conjecture d'Ichino-Ikeda pour les groupes unitaires sous certaines conditions locales. Ces conditions locales sont en fait assez restrictives et Zhang a énoncé une conjecture purement locale, portant sur la comparaison de caractères 'relatifs' locaux, permettant de lever la plupart de ces restrictions. Dans cet exposé, je présenterai une démonstration de cette conjecture de Zhang qui traite uniformément les places archimédiennes et non-archimédiennes. Un des ingrédients ess entiel de la preuve est une certaine formule de Plancherel 'explicite' pour l'espace symétrique $GL_n(F)\backslash GL_n(E)$ ($E/F$ une extension quadratique de corps locaux) et un corollaire de celle-ci est une formule pour le degré formel des séries discrètes de groupes unitaires en termes de facteurs gamma adjoints, confirmant dans ce cas une conjecture d'Hiraga-Ichino-Ikeda.