Appears in collection : Jean-François Quint - Mesures stationnaires et fermés invariants des espaces homogènes

Dans ce cours, je présenterai des résultats que j'ai obtenus récemment en collaboration avec Yves Benoist. Nous avons démontré que, pour certaines actions de groupes sur des espaces homogènes, les adhérences d'orbites sont toutes des sous-variétés. Cet énoncé fait suite à de célèbres travaux de Furstenberg, Ratner, Margulis, Dani, Lindenstrauss, Katok, Einsiedler, etc. qui obtiennent des résultats proches, pour des actions de groupes différents. L'idée nouvelle que nous avons introduite, consiste à montrer que, sous nos hypothèses, l'adhérence de l'orbite d'un point peut s'obtenir en tirant au hasard les éléments du groupe qu'on lui applique successivement. Notre résultat découle alors des propriétés de la chaine de Markov ainsi construite, pour la description de laquelle nous utilisons la théorie des produits de matrices aléatoires, due à Furstenberg, Kesten, Kiffer, Guivarc'h, Raugi, Gol'dsheid, Margulis, etc.