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published on February 4, 2026
Lower bounds on Ricci curvature, with a glimpse on limit spaces (Part 1)
By Thomas Richard
[1953] Empilements de sphères en très grande dimension
Appears in collection : Bourbaki - Juin 2026
Soit $d_n$ la densité maximale d’un empilement de sphères dont les centres forment un réseau de l’espace euclidien à $n$ dimensions. On expliquera comment Bo’az Klartag a démontré l’inégalité $d_n \geq c n^2 2^{-n}$ où $c>0$ est une constante universelle. En très grande dimension, même pour des empilements de sphères non nécessairement liés à un réseau, cette nouvelle borne inférieure est un progrès substantiel.
La preuve de Klartag repose sur la méthode probabiliste en combinant deux utilisations du hasard. La première, très classique, consiste à étudier les propriétés statistiques d’un réseau choisi uniformément au hasard. La seconde, novatrice, considère le processus d’évolution stochastique d’un ellipsoïde contraint à ne contenir, en dehors de l’origine, aucun point du réseau dans son intérieur.
[D'après B. Klartag]
