Appears in collection : Bourbaki - Mars 2025

On étudie ici la géométrie sous-riemannienne sur une variété $M$ induite par une famille finie $F$ de champs de vecteurs satisfaisant la condition de Hörmander, ainsi que les opérateurs différentiels obtenus comme polynômes en les éléments de $F$. Un tel opérateur $D$ est hypoelliptique si, pour toute fonction lisse $f$, les solutions $u$ de l'équation $Du=f$ sont elles aussi lisses. Une notion plus fine, celle des opérateurs hypoelliptiques maximaux, étend cette propriété en termes de régularité Sobolev, offrant un parallèle, en géométrie sous-riemannienne, aux opérateurs elliptiques.

En 1979, Helffer et Nourrigat ont proposé une conjecture caractérisant l'hypoellipticité maximale, généralisant le théorème principal de régularité des opérateurs elliptiques. Cette conjecture a été récemment confirmée grâce à des outils de géométrie non commutative. Un élément central de ce travail est une généralisation naturelle en géométrie sous-riemannienne, introduite par Mohsen, du groupoïde tangent de Connes, dans lequel apparaissent tous les cônes tangents, ingrédients clés dans le travail de Helffer et Nourrigat. En collaboration avec Androulidakis et Yuncken, Mohsen a développé un calcul pseudodifférentiel dans ce contexte, introduisant notamment la notion de symbole principal. Ils obtiennent que l'inversibilité de ce symbole équivaut à l'hypoellipticité maximale, validant ainsi la conjecture.

Cet exposé présentera les ingrédients et les grandes lignes de ces avancées novatrices.

[D'après I. Androulidakis, O. Mohsen et R. Yuncken]