Une des questions fondamentales de la théorie analytique des nombres est de comprendre la distribution des valeurs centrales d’une famille de fonctions $L$, par exemple $L(\frac{1}{2}, \chi)$ lorsque $\chi$ parcourt tous les caractères de Dirichlet quadratiques. Dans ce cas, une conjecture de Conrey–Farmer–Keating–Rubinstein–Snaith prédit le comportement asymptotique de leurs moments. Je présenterai des travaux récents de Bergström–Diaconu–Petersen–Westerland et Miller–Patzt–Petersen–Randal-Williams établissant l’analogue de cette conjecture sur les corps de fonctions. Dans ce cadre, la formule de traces de Grothendieck–Lefschetz réduit l’étude des moments à celle de la cohomologie d’un espace de modules de courbes hyperelliptiques à coefficients dans un système local symplectique, et il s’agit alors de démontrer un théorème de stabilité homologique du même style que la conjecture de Mumford (théorème de Madsen–Weiss) pour l’espace de modules de toutes les courbes. J’expliquerai les grandes lignes des arguments de topologie algébrique qui permettent de le faire, notamment le rôle des « applications de scanner ».

[D'après Bergström–Diaconu–Petersen–Westerland et Miller–Patzt–Petersen–Randal-Willams]