Le formalisme tannakien a d’abord été développé par l’école de Grothendieck pour les besoins de la théorie des motifs. L’idée principale est que se donner un groupe (algébrique affine sur un corps $k$, disons algébriquement clos) est essentiellement équivalent à se donner sa catégorie de représentations en tant que catégorie monoïdale symétrique, munie du foncteur d’oubli (dit foncteur fibre) vers la catégorie des espaces vectoriels : une catégorie pré-tannakienne (monoïdale symétrique, et vérifiant des conditions nécessaires naturelles) admettant un foncteur fibre est forcément équivalente à la catégorie des représentations du groupe des automorphismes tensoriels du foncteur fibre.

Dans le cas de la caractéristique $0$, Deligne a montré en 1990 qu’une catégorie pré-tannakienne $C$ admet un foncteur fibre (i.e. est tannakienne) si et seulement si tout objet a une puissance alternée qui est nulle. En 2002, il a montré un résultat plus général : si on suppose seulement que $C$ est à croissance modérée (pour tout objet $V$, la longueur de $V^{\otimes n}$ est sous-exponentielle), alors $C$ a une sorte de foncteur fibre, non pas vers les espaces vectoriels a priori, mais vers les super espaces vectoriels (espaces vectoriels $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-gradués).

L’extension de ces résultats au cas où $k$ est de caractéristique $p>0$ a été un problème ouvert pendant une vingtaine d’années, mais de grands progrès ont été faits récemment. En particulier, Ostrik a identifié une catégorie de Verlinde $\mathrm{Ver}_p$ comme but naturel des foncteurs fibres en caractéristique $p$. Plus récemment, Coulembier, Etingof et Ostrik ont donné une certaine réponse à notre question : ils ont caractérisé les catégories pré-tannakiennes admettant un foncteur tensoriel symétrique vers $\mathrm{Ver}_p$ comme celles qui sont Frobenius-exactes et de croissance modérée (cette dernière condition pouvant être remplacée par : tout objet est annulé par une puissance alternée). Un cas particulier, qui est aussi une étape importante dans la preuve, est une caractérisation des catégories tannakiennes en caractéristique $p$. Nous donnerons un aperçu de ces résultats, ainsi que des exemples d’applications aux représentations modulaires.

[D'après Kevin Coulembier, Pavel Etingof, Victor Ostrik,…]