Apparaît dans la collection : Bourbaki - Juin 2023

La dynamique des fluides visqueux incompressibles est décrite par les équations de Navier–Stokes, pour lesquelles on dispose principalement de deux façons de construire des solutions en dimension trois. La première, due à Leray et étendue par Hopf, repose sur une méthode de compacité, et conduit à l’existence de solutions dites solutions « faibles », globales (c’est-à-dire définies pour tout temps). La seconde, due initialement à Fujita et Kato et généralisée ensuite, consiste à construire des solutions dites « fortes » par une méthode de point fixe, dans un espace fonctionnel à forte régularité. Les solutions fortes ainsi obtenues sont naturellement uniques, mais sont a priori locales. Cette dichotomie conduit naturellement à la question suivante, restée ouverte pendant presque un siècle : les solutions de Leray–Hopf sont-elles uniques ? Récemment, Dallas Albritton, Elia Brué et Maria Colombo ont apporté une réponse négative à cette question fondamentale, en considérant le cas d’un fluide initialement au repos et soumis à une force extérieure. Leur preuve repose sur la construction d’un profil linéairement instable dans des variables auto-similaires et s’inspire d’un résultat de Vishik pour l’équation d’Euler, ainsi que des travaux de Sverak et de ses collaborateurs.