Apparaît dans la collection : Morphologie mathématique, équations d’Hamilton-Jacobi et formules de Hopf-Lax-Oleinik

Dans beaucoup d’applications en traitement d’images ou de données en général, il est important de faire une bonne analyse des structures fines à des échelles ou résolutions différentes. Cela est le cas en particulier en compression de données, détection de caractéristiques, analyse et détection de mouvement. Du fait de ses bonnes propriétés de non linéarité et de préservation de formes et de géométrie des objets, la morphologie mathématique apparait depuis des décennies comme étant un outil très performant d’analyse multi-échelles. Plusieurs formulations ont été proposées pour bien établir son cadre théorique; entre autres, une approche algébrique basée sur la théorie des réseaux complets ou celle reposant sur l’analyse fonctionnelle qui permet d’aboutir à la théorie des équations aux dérivées partielles (EDP) de type Hamilton-Jacobi du premier ordre et dont leurs solutions existent au sens des viscosités et sont bien connues comme étant les formules de Hopf-Lax-Oleinik (HLO). Dans ce cours, nous aborderons la morphologie sous l’angle de l’analyse fonctionnelle pour montrer ses liens avec les EDP et les formules HLO, ce qui nous permettra, d’une part, de proposer des opérateurs morphologiques robustes en environnement bruité et adaptatifs par rapport aux propriétés intrinsèques de l’image. Nous verrons aussi diverses extensions possibles dans des espaces non euclidiens et la morphologie mathématique basée sur la convolution (max, min). Nous regarderons les aspects numériques et proposerons des applications en filtrage, analyse multi-échelles et rehaussement de contraste.