Appears in collection : Serre 100

Euler, qui a introduit la "fonction zêta de Riemann" et en a étudié les valeurs aux points entiers, a défini aussi certaines généralisations à plusieurs variables, qu'on appelle aujourd'hui les "valeurs zêta multiples". Elles ont été très activement étudiées au cours des dernières années, en raison de la profondeur de leur structure algébrique et de leur apparition dans de nombreux domaines des mathématiques pures et de la physique mathématique. Nous décrirons deux analogues "finis", mais en des sens très différents : l'un consiste en certaines combinaisons de valeurs zêta multiples qui sont finies même lorsque certains des termes figurant dans leur définition sont infinis, l'autre appartient à "l'anneau des adèles du pauvre", formé des éléments des corps finis Z/pZ pour presque tous les nombres premiers p. Ces deux types ont des propriétés combinatoires très intéressantes, et l'on conjecture aussi que ces deux structures sont canoniquement isomorphes. Nous décrirons cette correspondance, et donnerons également d'autres exemples intéressants d'éléments de l'anneau des adèles du pauvre.