Appears in collection : Bourbaki - Juin 2026

L’exemple plus simple d’une dynamique sur une surface sans point périodique est une rotation irrationnelle de l’anneau. On peut alors se demander si tout difféomorphisme sans point périodique est (conjugué à) une rotation. Dans les années 1970, Anosov et Katok ont construit le premier exemple d’une pseudo-rotation (c’est-à-dire un difféomorphisme symplectique sans point périodique) lisse et transitive de l’anneau ; un tel difféomorphisme ne peut pas être conjugué à une rotation. La question de savoir si une construction analogue est réalisable en classe analytique restait ouverte : dans les années 1930, Birkhoff conjecturait que toute pseudo-rotation analytique de l’anneau est conjuguée à une rotation. Pierre Berger a réfuté cette conjecture en montrant que la construction d’Anosov–Katok peut s’adapter au cas analytique, via un théorème d’approximation des difféomorphismes lisses par des commutateurs de certaines applications analytiques. Berger construit également des pseudo-rotations analytiques sur la sphère de dimension 2, obtenant ainsi le premier exemple analytique de point fixe elliptique instable sur cette variété.

[D'après Berger]