Appears in collection : Bourbaki - Novembre 2024

Suite à des travaux de Shimura et d’autres, Deligne a énoncé une conjecture reliant les valeurs de fonctions $L$ des motifs sur $\mathbb{Q}$ en certains points entiers à des périodes d’intégrales de formes différentielles algébriques sur les classes d’homologie rationnelle. Cette conjecture a été le point de départ d’une série de conjectures de plus en plus précises sur les valeurs exactes des fonctions $L$ motiviques aux points entiers, et il existe une vaste littérature traitant de nombreux exemples de ces conjectures en utilisant les méthodes de la théorie des formes automorphes. Cependant, l’une des familles d’exemples qui ont motivé la conjecture initiale de Deligne —le cas des puissances symétriques des mo- tifs attachés aux formes modulaires classiques— est restée inaccessible pendant plus de 40 ans. Dans un travail remarquable récent, Shih-Yu Chen a résolu cette conjecture pour les formes modulaires de poids au moins $5$. J’expliquerai les grandes lignes de l’argument de Chen, d’une virtuoisité encyclopédique quant aux méthodes mises en jeu et dévelop- pées par les spécialistes —y compris par Chen lui-même— depuis la parution de l’article où Deligne énonce sa conjecture. Une généralisation des résultats récents de Harder et Raghuram sur la cohomologie d’Eisenstein joue un rôle central dans la démonstration de Chen.