[1223] Livres brisés pour des flots de Reeb en dimension $3$

By Anna Florio

Appears in collection : Bourbaki - Juin 2024

Étant donnée une variété de contact $(M,\xi)$ il existe plusieurs formes de contact $\alpha$ définissant la même structure de contact~$\xi$. Le choix d'une telle forme $\alpha$ induit une dynamique sur~$M$, grâce au champ de Reeb $R_\alpha$ et au flot de Reeb associés. Pour une variété fermée orientée de dimension $3$, Vincent Colin, Pierre Dehornoy et Ana Rechtman ont montré que chaque flot de Reeb non dégénéré est porté par un livre brisé, une généralisation de la notion de livre ouvert. Plus précisément, il existe un couple $(K,F)$ où $K$ est une réunion finie d'orbites périodiques du flot et est un certain feuilletage co-orienté de $M \setminus K$ tel que la compactification de chaque feuille est une surface dont l'intérieur est plongé et positivement transverse au flot et dont le bord est contenu dans $K$. Nous définirons une telle décomposition en livre brisé et expliquerons sa construction, qui repose sur la théorie de l'homologie de contact plongée (ECH) et la chirurgie de Fried pour des surfaces. L'existence de tels livres brisés a des conséquences dynamiques remarquables, notamment sur le nombre d'orbites périodiques et sur l'entropie topologique des flots de Reeb portés par une telle décomposition, ou encore sur l'existence d'une section de Birkhoff pour un flot de Reeb générique. Nous discuterons de telles applications, en faisant référence aussi aux travaux de Colin--Dehornoy-Hryniewicz-Rechtman et Contreras-Mazzucchelli.

[D'après Colin, Dehornoy et Rechtman]

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Bibliography

  • Séminaire Bourbaki, 76ème année (2023-2024), n°1223, juin 2024 PDF

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