Appears in collection : Bourbaki - Janvier 2024

Les invariants de Gromov–Witten sont des nombres obtenus en comptant des courbes holomorphes dans une variété complexe ou symplectique donnée. On fixe le genre de ces courbes ainsi que la classe d’homologie qu’elles réalisent dans la variété et on pose des contraintes (par exemple le passage par une collection de points donnée) de sorte que le nombre de ces courbes soit fini. De manière plus précise, ces invariants sont donnés par l’intégrale de certaines formes différentielles sur un espace de modules de courbes holomorphes. Lorsqu’on essaie de définir un analogue réel de ces invariants on se retrouve devant un problème crucial : les espaces de modules de courbes holomorphes réelles ne sont pas orientables en général et donc l’intégrale de ces formes différentielles n’est pas bien définie.

Le but de l’exposé est d’introduire le concept de variété symplectique réellement orientable et de montrer que les espaces de modules de courbes holomorphes réelles dans une variété symplectique réellement orientable sont toujours orientables. Ceci amène à une théorie de Gromov–Witten réelle ainsi qu’à la définition d’un analogue en genre supérieur des invariants de Welschinger.

[D’après Penka Georgieva et Aleksey Zinger]