Appears in collection : Bourbaki - Juin 2019

Le modèle de percolation classique est le suivant : pour un paramètre $p \in [0,1]$ fixé, chaque arête du graphe $\mathbf{Z}^d$ est conservée (resp. supprimée) avec probabilité $p$ (resp. $1-p$), indépendamment des autres. Il présente une transition de phase, i.e., il existe un paramètre critique $p_c$ tel que si $p<p_c$ alors p.s. toutes les composantes connexes du graphe aléatoire ainsi créé sont bornées, tandis que si $p>p_c$ alors p.s. il existe une unique composante connexe infinie dans ce graphe. Cette transition de phase est abrupte, au sens où pour $p<p_c$, non seulement la probabilité que l'origine du graphe soit reliée à un point à distance $n$ tend vers $0$, mais elle décroît vers $0$ exponentiellement vite en $n$. Ce résultat fondamental est connu depuis les années 80 grâce aux travaux de Menshikov et d'Aizenman et Barsky. Dans cet exposé nous présenterons une nouvelle preuve de ce résultat proposée par Duminil-Copin, Raoufi et Tassion et qui utilise des arbres de décisions. Leur approche est très robuste et peut s'adapter à de nombreuses variantes du modèle de percolation dans lesquelles le caractère abrupt de la transition de phase n'avait pas encore pu être démontré.

[D’après Duminil-Copin, Raoufi et Tassion]