Appears in collection : Bourbaki - Janvier 2019

La conjecture de Deligne dite des compagnons (1980) décrit l'image essentielle des foncteurs de réalisation $\ell$-adiques (on autorise $\ell=p$) sur la catégorie hypothétique des motifs purs de Grothendieck lorsque le corps de base est fini de caractéristique $p$. Pour les courbes, c'est une conséquence de la correspondance de Langlands pour les corps de fonctions (le rôle des motifs étant joué par certaines représentations automorphes) montrée par Drinfeld en rang 2, Lafforgue en rang quelconque, et Abe pour $\ell=p$. En dimension supérieure, il n'y a pas d'analogue de la correspondance de Langlands et la stratégie naturelle est plutôt de se ramener au cas des courbes par des méthodes géométriques. De telles méthodes ont été développées dans des travaux récents de Deligne, Drinfeld, et Abe-Esnault/Kedlaya pour $\ell=p$, permettant de compléter en grande partie la preuve de la conjecture en dimension supérieure. L'exposé présentera un état des lieux de la conjecture en s'attachant plus particulièrement à décrire ces méthodes géométriques.

[D'après Deligne, Drinfeld, Lafforgue, Abe,...]