Appears in collection : Bourbaki - Janvier 2018

La convolution de Bernoulli de paramètre $\lambda \in [1/2, 1\mathclose[$ est la loi de $\sum \lambda^n \xi_n$, où les $\xi_n$ forment une suite de variables de Bernoulli non biaisées. On conjecture depuis les travaux fondateurs d'Erdös et Kahane que cette mesure réelle est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue lorsque $\lambda$ n'est pas l'inverse d'un nombre de Pisot. Cette question, malgré son apparente simplicité, est extrêmement délicate et encore ouverte. Elle a motivé au fil du temps le développement de différentes techniques qui ont ensuite pu être appliquées dans des contextes beaucoup plus généraux. Cet exposé sera consacré à la méthode entropique, introduite récemment par Hochman, qui fait le lien avec le monde de la combinatoire additive et a permis des développements spectaculaires.

[D'après Hochman, Shmerkin, Breuillard, Varjù]