Appears in collection : Bourbaki - Mars 2016

L’un des problèmes fondamentaux en géométrie sous-riemannienne porte sur la régularité des géodésiques minimisantes. Une structure sous-riemannienne sur une variété correspond à la donnée d’une distribution totalement non holonome et d’une métrique sur celle-ci. La propriété de non-intégrabilité de la distribution garantit l’existence de courbes horizontales, c’est-à-dire tangentes à la distribution, entre tous points et la métrique permet de définir une notion de distance sur la variété. Comme en géométrie riemannienne, sous des hypothèses appropriées on peut montrer l’existence de courbes horizontales minimisant la longueur, mais contrairement au cas riemannien de telles courbes ne sont pas nécessairement solutions d’une "équation géodésique". Ce phénomène est à l'origine du problème de régularité des "singulières minimisantes" en géométrie sous-riemannienne.

[D'après Hakavuori, Le Donne, Leonardi, Monti...]