Appears in collection : Bourbaki - Novembre 2015

Démontrée par A. Parshin et S. Arakelov au début des années 1970, la conjecture d’hyperbolicité de Shafarevich affirme qu’une famille de courbes de genre g ≥ 2 paramétrée par une courbe non hyperbolique (c’est-à-dire isomorphe à P1, C, C∗ ou une courbe elliptique) est automatiquement isotriviale : les modules des fibres lisses sont constants. En dimension supérieure, les travaux de E. Viehweg sur les modules des variétés canoniquement polarisées l’ont amené à formuler la généralisation suivante : si une famille de variétés canoniquement polarisées (paramétrée par une base quasi-projective) est de variation maximale, alors la base est de log-type général. Il s’agit donc d’une forme d’hyperbolicité algébrique attendue pour l’espace des modules. En adaptant des résultats dus à Y. Miyaoka sur la semi-positivité générique du fibré cotangent au cadre logarithmique (et orbifolde), F. Campana et M. Pa ̆un ont récemment obtenu une réponse positive à la conjecture de Viehweg. Cet exposé sera également l’occasion de donner un aperçu de la classification des orbifoldes développée par F. Campana. C’est d’ailleurs dans ce cadre que s’énonce la forme optimale de la conjecture de Viehweg démontrée par B. Taji.

[D’après Campana, Pa ̆un, Taji,...]