Appears in collection : Bourbaki - Juin 2015

Soit X une variété hyperbolique de dimension 3, quotient de l'espace hyperbolique par un groupe "arithmétique" d'isométries. Le programme de Langlands prédit que la cohomologie singulière de X à coefficients dans Z/nZ a une action naturelle du groupe de Galois absolu d'un corps de nombres ; ceci est surprenant a priori car X n'est pas une variété algébrique. L'idée est de relier la cohomologie de torsion de X à celle d'un autre espace localement symétrique qui se trouve être une variété de Shimura, donc en particulier une variété algébrique définie sur un corps de nombres. Cette idée a été mise en oeuvre indépendamment par Harris-Lan-Taylor-Thorne, Scholze et Boxer (l'ordre est chronologique, et les trois articles traitent un cas plus général que celui présenté ici). Nous nous concentrerons sur l'approche de Scholze.

[D’après Scholze]