Appears in collection : Bourbaki - Janvier 2015

Le principe du maximum est un outil simple mais puissant pour étudier des problèmes géométriques, qui se formule à l’aide d’une équation scalaire aux dérivées partielles elliptique ou parabolique. Des formules à la Bochner permettent également d’étudier des systèmes d’équations aux dérivées partielles. Cet outil avait par exemple été utilisé par S-T. Yau et T. Aubin dans la résolution du problème de Calabi pour obtenir des estimées a priori des solutions d’une équation de Monge-Ampère. Récemment des techniques de doublement de variables ont permis la résolution de deux problèmes célèbres : la conjecture de Lawson à propos des 2-tores plongés minimalement dans la sphère $𝕊^3$ par $S$. Brendle et la conjecture de l’écart fondamentale qui permet une minoration optimale de l’écart entre les deux premières valeurs propres d’un domaine convexe de l’espace euclidien par B. Andrews et J. Clutterbuck.

[D'après B. Andrews, J. Clutterbuck et S. Brendle]