Appears in collection : Bourbaki - Mars 2024

Un problème bien connu en géométrie est savoir quelles variétés admettent une métrique riemannienne de courbure scalaire strictement positive (PSC). De grandes avancées ont été obtenues dans les années 80 par Schoen–Yau et Gromov–Lawson, avec des techniques de surfaces minimales et de spineurs. Parmi les résultats obtenus dans cette période : une 3-variété compacte admet une métrique PSC si et seulement si sa décomposition en somme connexe n’admet pas de facteur asphérique (i.e. dont les groupes d’homotopie $\pi_i$ sont nuls pour $i>1$, ou de manière équivalente de revêtement universel contractible). Modulo la résolution de la conjecture de Géométrisation par Perelman, cela revient à dire que la variété est une somme connexe de quotients de $S^3$ et de $S^2 \times S^1$. En dimension supérieure, les tores $T^n$ n’admettent pas de métrique PSC, ni plus généralement les variétés compactes à courbure sectionnelle négative ou nulle. Ceci a amené à conjecturer qu’une $n$-variété compacte asphérique n’admettait pas de métrique PSC.

Dans cet exposé je présenterai d’abord une preuve de cette conjecture en dimension $4$ et $5$ par Chodosh et Li. Leur démonstration utilise une nouvelle fonctionnelle introduite par M. Gromov, les $\mu$-bulles. Je présenterai ensuite une classification des n-variétés PSC suffisamment connexes en dimension $4$ et $5$, obtenue par Chodosh, Li et Liokumovich : un revêtement fini a le type d’homotopie de $S^n$ ou de somme connexe de $S^{n-1} \times S^1$.

[D’après O. Chodosh, C. Li et Y. Liokumovich]