Appears in collection : Bourbaki - Mars 2024

Le contexte général de cet exposé est la question suivante : quels sont les groupes infinis de type fini qui sont caractérisés par la donnée de leurs quotients finis ? La relation d’équivalence associée est celle qui met dans la même classe les groupes possédant le même complété profini. On dit qu’un groupe possède la propriété de rigidité profinie (absolue) s’il est seul dans sa classe d’équivalence, autrement dit si tout groupe infini de type fini de même complété profini est isomorphe à celui-ci. Le problème de mettre en évidence des classes de groupes possédant cette rigidité est encore largement ouvert. On va présenter des constructions de groupes possédant la propriété de rigidité profi- nie absolue, ainsi que des résultats portant sur une version affaiblie de la rigidité profinie (relative à une classe restreinte de groupes mis en comparaison). Les techniques utilisées relèvent des représentations linéaires, de la géométrie hyperbolique de petite dimension, et d’arguments provenant de l’étude des groupes arithmétiques.

[D’après Martin Bridson, Alan Reid et alii]