Parmi les développements récents en physique mathématique, un exemple remarquable est la découverte de relations entre d'une part des problèmes spectraux quantiques, et d'autre part des théories de jauge supersymétriques ou des théories des cordes topologiques. Dans ce cours, on présentera des aspects marquants de ces relations, et on montrera comment elles conduisent à des résultats exacts pour la théorie spectrale de nouvelles familles d'équations différentielles et d'équations aux différences.