[1248] La conjecture de Hodge pour les variétés abéliennes de dimension au plus 5
Apparaît dans la collection : Bourbaki - Janvier 2026
La conjecture de Hodge porte sur la topologie et la géométrie analytique des variétés projectives complexes $X$. Elle prédit grosso modo l’existence de sous-variétés algébriques de $X$ ayant une classe de cohomologie donnée, à condition que cette classe soit une classe de Hodge. Le seul cas connu en général est celui des hypersurfaces (classes de degré $2$). Bien qu’il soit difficile de construire des classes de Hodge sur des variétés algébriques, il existe des exemples explicites produits par des procédés formels. C’est en particulier le cas des classes de Hodge, dites de Weil, sur les variétés abéliennes de Weil, qui sont des tores complexes algébriques admettant un endomorphisme quadratique. Je décrirai la stratégie qui a permis à Eyal Markman de démontrer la conjecture de Hodge pour les classes de Weil sur les variétés abéliennes de Weil de dimension $4$, ce qui entraîne la conjecture de Hodge pour les variétés abéliennes de dimension au plus $5$, grâce à des résultats antérieurs.
[D'après Markman]
