Appears in collection : Bourbaki - Mars 2024

Une chaîne de Markov présente le phénomène de cutoff si sa distance à l’équilibre reste proche de $1$ jusqu’à un certain temps, puis chute abruptement vers $0$ en un temps bien plus court. Découvert dans les années 1980 dans le contexte des mélanges de cartes, ce phénomène a depuis été observé pour une très grande variété de chaînes. Cependant, le problème de l’identification des mécanismes sous-jacents au cutoff reste une des plus grandes questions dans le domaine des temps de mélange. À cet égard, l’article Cutoff for non-negatively curved Markov chains de Justin Salez constitue une avancée majeure. Premièrement, il établit un critère très général pour le cutoff, reposant sur la notion de varentropie, permettant de comprendre le cutoff comme un phénomène de concentration entropique. Deuxièmement, il montre que ce critère est vérifié pour une grande famille de chaînes: les chaînes à courbure positive satisfaisant une condition qui ne concerne que les ordres de grandeur des temps de mélange et de relaxation.

[D’après J. Salez]