Appears in collection : Bourbaki - Janvier 2024

La turbulence d’onde est l’étude de l’évolution de la loi d’une solution d’une équation d’onde lorsque celle-ci a pour donnée initiale une variable aléatoire présentant certaines symétries. Cette loi vérifie une équation d’évolution dite cinétique par analogie avec les équations cinétiques de type Boltzmann. Un des enjeux de la turbulence d’onde est de dériver rigoureusement ces équations cinétiques. L’équation d’onde qu’on considère ici est l’équation de Schrödinger cubique. Dans cet exposé, on commencera par présenter les différents objets de la théorie, en s’appuyant sur l’exemple de l’équation de Schrödinger, puis on donnera une dérivation heuristique, provenant de la littérature physique, de l’équation cinétique associée. Cela permet d’exhiber l’équation cinétique mais la preuve de la dérivation rigoureuse emprunte un autre chemin que celui désigné par la dérivation heuristique. En particulier, la preuve repose sur une décomposition de la solution en arbres ou diagrammes de Feynman déjà présente dans la littérature physique. On présentera cette diagrammatique, la structure générale de la preuve, ainsi que quelques éléments de combinatoire y intervenant.

[D’après Yu Deng et Zaher Hani]