Appears in collection : Bourbaki - Novembre 2023

Soit $G$ un groupe réductif sur un corps local non-archimédien $F$. Pour les questions de classification des représentations lisses irréductibles de $G$, l’étude des représentations supercuspidales – celles dont les coefficients matriciels sont à support compact modulo le centre – est en quelque sorte le noyau dur. Les progrès dans cette étude ont été continus depuis cinquante ans. Dans des cas « modérés » où la caractéristique résiduelle de $F$ est suffisamment grande relativement à $G$, on disposait depuis 2001 d’une construction fort générale de représentations supercuspidales, décrite par J-K. Yu sur la base de nombreux travaux antérieurs. Mais les avancées récentes ont rendu le tableau beaucoup plus complet et beaucoup plus clair. Par exemple, les travaux de J. Fintzen, T. Kaletha et L. Spice fournissent (dans le cas modéré) une classification des représentations supercuspidales, une formule explicite pour « presque tous » leurs caractères, ainsi qu’une correspondance de Langlands explicite pour les paquets entièrement supercuspidaux. Bien que les constructions s’appuient de façon cruciale sur les représentations de groupes finis et la géométrie des immeubles, les formules de caractère et la description des paquets de Langlands présentent des parallèles saisissants avec le cas des groupes réels.