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publiée le 31 mars 2025
Algorithmic methods for enumerative combinatorics - lecture 2
De Christoph Koutschan
Méthode des invariants de Tutte et mouvement brownien réfléchi dans des cônes
Apparaît dans la collection : ALEA Days 2019 / Journées ALEA 2019
Dans les années 1970, William Tutte développa une approche algébrique, basée sur des «invariants», pour résoudre une équation fonctionnelle qui apparait dans le dénombrement de triangulations colorées. La transformée de Laplace de la distribution stationnaire du mouvement brownien réfléchi dans des cônes satisfait une équation similaire. Pour être applicable, cette méthode requiert l’existence de deux fonctions appelées respectivement invariant et fonction de découplage. Tous les modèles ont des invariants mais on démontre que l’existence de fonctions de découplage équivaut à une condition géométrique simple sur les angles de réflexion. Pour les modèles qui ont une fonction de découplage, on obtient une expression explicite sans intégrale de la transformée de Laplace en fonction des invariants. En particulier, on obtient à nouveau une formule pour la transformée de Laplace de plusieurs cas bien connus, comme la skew symétrie, les réflexions orthogonales ou le résultat de Dieker et Moriarty qui caractérise les densités stationnaires qui s’écrivent sous la forme d’une somme d’exponentielles. Cette méthode permet de plus de caractériser la nature algébrique de la transformée de Laplace en fonction des modèles. Cet exposé est issu d’un travail en collaboration avec M. Bousquet-Mélou, A. Elvey Price, C. Hardouin et K. Raschel.
