Hermann Weyl a démontré en 1911 un théorème remarquable sur la répartition asymptotique des valeurs propres du laplacien pour les domaines compacts à bord dans l’espace euclidien. Dans le cas des domaines non compacts de volume infini, il existe une notion naturelle qui généralise celle de valeur propre : les résonances. Les résonances forment un ensemble discret de nombres complexes dont les parties réelles sont liées à une fréquence d’oscillation tandis que la partie imaginaire traduit un taux d’amortissement. Un travail récent de Nonnenmacher-Sjöstrand-Zworski établit des bornes supérieures sur la densité des résonances lorsqu’on les compte dans une bande horizontale du plan complexe. Le taux de croissance fait apparaître, contrairement à la loi de Weyl classique, un exposant « non entier » lié à la dimension de Minkowski des trajectoires captées : c’est ce qu’on appelle une borne de Weyl « fractale ». Nous ferons une introduction à la notion de résonance et mettrons en perspective le travail de N-S-Z en faisant un historique des résultats précédents de la théorie.

[D’après Nonnenmacher-Sjöstrand-Zworski [39, 38]]