Dès 1924, Lefschetz proposait d’appliquer les méthodes de la topologie algébrique naissante (l’Analysis situs de Poincaré) à la géométrie algébrique. A la fin du XXème siècle, Voevodsky renouvelle cette thématique dans sa thèse, et met au point avec Morel la théorie de l’$\mathbb{A}^1$-homotopie, aussi appelée homotopie motivique puisqu’elle offre un cadre englobant la théorie des complexes motiviques imaginée par Beilinson. Depuis son application spectaculaire aux conjectures de Milnor et Bloch–Kato, le succès de la théorie ne s’est pas démenti, voyant s’épanouir une foison de développements : fibrés vectoriels (conjecture de scindage de Murthy), cobordisme algébrique, groupe de Galois motivique, groupes de Chow–-Witt et géométrie énumérative quadratique...

Les développements de l’$\mathbb{A}^1$-homotopie ont été particulièrement guidés par l’analogie avec l’homotopie classique et l’adaptation de ses méthodes. Cependant, les travaux de Morel sur l’homotopie de la sphère motivique et les résultats de Voevodsky sur les opérations de Steenrod en cohomologie motivique montrent qu’en retour, l’$\mathbb{A}^1$-homotopie apporte littéralement une épaisseur supplémentaire à la topologie. Plus récemment, des travaux initiés par Morel et Dugger–Isaksen ont montré comment exploiter cette dimension supplémentaire pour obtenir de nouveaux résultats en homotopie classique. En particulier, ces progrès ont permis d’avancer sur le calcul des groupes d’homotopie stable et ont contribué à la résolution du problème de l’invariant de Kervaire par Lin, Wang et Xu.

L’exposé présentera les techniques utilisées pour parvenir à ces résultats, en mettant en lumière les interactions entre homotopies classique et motivique ainsi que leurs applications récentes.

[D’après Morel–Voevodsky, Isaksen–Wang–Xu, ...]