Nous présenterons les travaux récents de Logunov et Malinnikova sur la conjecture de Yau. Celle-ci affirme que, sur une variété Riemannienne compacte $(X,g)$ de dimension $d$, le lieu d’annulation d’une fonction propre de l’opérateur de Laplace-Beltrami de valeur propre $\lambda$ possède une mesure de Hausdorff $(d-1)$-dimensionnelle comprise entre $c\sqrt{\lambda}$ et $C \sqrt{\lambda}$, où $c$ et $C$ sont des constantes ne dépendant que de la variété $(X,g)$. Cette conjecture a été prouvée lorsque $(X,g)$ est une variété analytique par Donnelly et Feffermann. Lorsque $(X,g)$ est une surface non analytique, la borne inférieure a été obtenue par Brüning, tandis que Donnelly et Feffermann ont montré une borne supérieure en $\lambda^{3/4}$. Toutefois, sur une variété non-analytique de dimension $\geq 3$, les résultats connus étaient beaucoup moins précis : les meilleurs bornes inférieures disponibles ne tendaient pas vers l'infini quand $\lambda \to +\infty$, et les meilleures bornes supérieures (obtenues par Hardt et Simon) croissaient exponentiellement avec $\lambda$. En introduisant des arguments de nature combinatoire, Logunov et Malinnikova ont montré la borne inférieure de la conjecture en toute dimension, et ont obtenu des bornes supérieures polynomiales.

[D’après Logunov et Malinnikova]