La topologie symplectique est l'étude topologique des transformations qui préservent les aires. Depuis Lagrange et surtout Poincaré, on sait que ces transformations jouent un rôle en mécanique classique, mais pas seulement. Pourtant ce domaine des mathématiques ne s'est véritablement développé que depuis les années 1980. On montrera que des résultats récents ont aussi des conséquences surprenantes pour des problèmes géométriques anciens d'énoncé très simple.