La théorie conforme des champs de Liouville fut introduite en 1981 par le physicien Polyakov dans le cadre de sa théorie des sommations sur lessurfaces de Riemann. Bien que la théorie de Liouville est très étudiée dans le contexte de la physique théorique, ce n'est que récemment que nousavons réussi à la construire rigoureusement par une méthode probabiliste basée sur une intégrale de chemins à la Feynman. Dans cet exposé, j'expliquerai les principes de la construction mais surtout les nombreux problèmes ouverts autour de cette théorie: lien avec les grandes cartes planaires, théorèmes d'intégrabilité, etc... Cet exposé est basé sur des travaux en commun avec F. David, A. Kupiainen et R. Rhodes.