Apparaît dans la collection : Introduction aux Systèmes Dynamiques Dissipatifs en Dimension Infinie et Application

Les systèmes dynamiques dissipatifs en dimension infinie constituent un cadre mathématique puissant pour modéliser et analyser une grande variété de phénomènes physiques assez complexes. Ces systèmes apparaissent naturellement dans des contextes où l'évolution temporelle d'un système est décrite par des équations aux dérivées partielles (EDP) souvent non linéaires. Contrairement aux systèmes en dimension finie, où l'état du système est décrit par un nombre fini de variables, les systèmes en dimension infinie nécessitent des outils analytiques plus sophistiqués pour comprendre leur comportement à long terme. La théorie des attracteurs joue un rôle central dans l'étude de ces systèmes. Un attracteur est un ensemble invariant vers lequel le système évolue après un temps suffisamment long, indépendamment des conditions initiales. Ces attracteurs peuvent être simples (comme des points fixes ou des cycles limites) ou extrêmement complexes (même en dimension finie). Comprendre leur structure et leurs propriétés est essentiel pour prédire et caractériser le comportement asymptotique du système étudié. Ce cours, dans sa première partie, vise à introduire les concepts fondamentaux des systèmes dynamiques dissipatifs en dimension infinie, en mettant l'accent sur la théorie des attracteurs et leurs applications en physique. Dans une deuxième partie, les étudiants seront initiés aux outils mathématiques nécessaires pour aborder des problèmes de recherche actuels en physique mathématique et en analyse non linéaire à travers l’étude des solutions d’une équation de type Schrödinger.