L’objet de l’exposé sera de présenter les travaux de Dencker, Sjöstrandet Zworski sur le pseudo-spectre de certaines classes d’opérateurs pseudo-différentiels semi-classiques non autoadjoints. L’étude des propriétés pseudo-spectrales d’un opérateur revient à étudier les lignes de niveau de la norme de sa résolvante. Pour des opérateurs non autoadjoints, il s’agit d’un problème non trivial, et ce même lorsque le spectre de ces opérateurs est connu. En effet, il n’y a aucun contrôle a priori de la résolvante d’un opérateur non autoadjoint par son spectre, et la résolvante d’un tel opérateur peut exploser en norme dans des régions non bornées de l’ensemble résolvant très éloignées du spectre. Les travaux de Dencker, Sjöstrand et Zworski que nous présenterons montrent comment la théorie de l’analyse microlocale et notamment des résultats de non résolubilité ou de sous-ellipticité, permettent d’expliquer ces phénomènes de contrôle ou d’explosion de la résolvante pour certaines classes d’opérateurs pseudo-différentiels semi-classiques non autoadjoints.

[D'après Dencker, Sjöstrand et Zworski]